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Darauf basierend kann das n-te Glied der geometrischen Reihe s n definiert werden als:
Abbildung 6.8: N-tes Glied der geometrischen Reihe (1)
Oder ausgeschrieben:
s n = g 1 + g 1 *q + g 1 *q 2 + g 1 *q 3 + ... + g 1 *q (n-1)
Auch hier kommt ein eleganter Trick zum Umformen der Gleichung zum Zuge. Sie
wird auf beiden Seiten mit q multipliziert, sodass eine neue Gleichung entsteht:
q*s n = g 1 *q + g 1 *q 2 + g 1 *q 3 + ... + g 1 *q (n-1) + g 1 *q n
Beim Vergleich beider Gleichungen sieht man auf der rechten Seite, dass alle Sum-
manden außer dem ersten in der oberen Gleichung und dem letzten in der unteren
Gleichung identisch sind. Subtrahiert man nun die obere Gleichung von der unteren
Gleichung, eliminieren sich folglich alle Summanden bis auf eben diese beiden. Es
entsteht folgende Differenzgleichung:
q*s n - s n = g 1 *q n - g 1
Links wird S n ausgeklammert, und rechts wird g 1 ausgeklammert:
s n *(q -1) = g 1 *(q n -1)
Schließlich werden beide Seiten durch (q – 1) geteilt, und wir erhalten:
Abbildung 6.9: n-tes Glied der geometrischen Reihe (1)
Dies ist das Bildungsgesetz der geometrischen Reihe , die Sie nie wieder vergessen
sollten. Sie ist das Fundament vieler weiterer finanzmathematischer Berechnungen,
die im weiteren Verlauf des Buches von Bedeutung sind. Folgende Abbildung 6.10
zeigt die Herleitung noch einmal anschaulich in sechs Schritten.
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