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7.2.3
Dynamischer Sparplan
Die bislang hergeleiteten finanzmathematischen Formeln sind immer von konstan-
ten Zahlungen ausgegangen. Wenn Sie Ihre Modelle tabellarisch aufbauen, sind Sie
an diese Restriktion natürlich nicht gebunden, wie wir im vorangegangenen
Abschnitt bereits angedeutet haben. (Die Zahlungen in Spalte F konnten variabel
sein.) In bestimmten Fällen ist es aber sogar möglich, in die Formeln eine Dynamik
einzubringen.
Jemand legt am 31.12. einen Betrag von 1000
an, der mit 5 % jährlicher Zins-
verrechnung vergütet wird. In den folgenden Jahren möchte er seinen Sparbetrag
jährlich um 3 % anpassen. Welches Vermögen hat sich zum 31.12. des sechsten Jahres
angesammelt? Die Aufgabenstellung wird durch folgende Reihe dargestellt:
zw=rmz*q 5 +rmz*v*q 4 +rmz*v 2 *q 3 +rmz*v 3 *q 2 +rmz*v 4 *q+rmz*v 5
Neu ist hier der Faktor v, der für die jährliche Anpassung des Sparbetrages steht.
v = 1 + 3% = 1,03
Die erste Basiszahlung von 1000
wird fünf Mal verzinst. Die zweite, um 3 %
erhöhte Zahlung von 1030
wird nur noch viermal verzinst. Der letzte Sparbetrag,
der wegen der nachträglichen Zahlung zum Bezugszeitpunkt keine Zinsen mehr
generiert, ist auf 1159
angewachsen. Nun wollen wir wieder eine allgemeingültige
Bildungsregel aus der Reihe extrahieren, die für beliebige Laufzeiten funktioniert.
Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit:
* v / q
Und erhalten eine neue Gleichung:
zw*v/q=rmz*v*q 4 +rmz*v 2 *q 3 +rmz*v 3 *q 2 +rmz*v 4 *q+rmz*v 5 +rmz*v 6 /q
Die Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung hat wieder den
praktischen Effekt, dass sich auf der rechten Seite der resultierenden Gleichung alle
Summanden rauskürzen, außer dem ersten Summanden der ersten Gleichung und
dem letzten Summanden der zweiten Gleichung. Es bleibt:
zw*v/q-zw = +rmz*v 6 /q - rmz*q 5
Links wird zw ausgeklammert:
zw * (v/q-1) = +rmz*v 6 /q - rmz*q 5
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