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7.3.4
Monatliche Tilgung bei jährlicher Zinsgutschrift
Ebenso wie bei Sparplänen mit monatlichen Einzahlungen und jährlichen Zins-
gutschriften können sich auch bei der Tilgung einfache Verzinsung und Zinseszins-
rechnung bzw. arithmetische Reihe und geometrische Reihe vermischen. Auch hier
muss zweistufig vorgegangen werden, allerdings in anderer Reihenfolge:
Stufe: Berechnung der regelmäßigen Zahlung rmz zum Jahresende.
1.
Stufe: Aufteilung von rmz auf die unterjährigen Zahlungen.
2.
Wir bleiben beim gleichen Zahlenbeispiel wie zuvor. Ein Darlehen von 100.000
soll
in zehn Jahren bei 9 % Zinsen getilgt werden. Aber nun muss monatlich nachschüssig
zurückgezahlt werden. Die Zinsen werden am Ende des Jahres verrechnet. Wie hoch ist
die monatlich zu leistende Zahlung?
Im Fall jährlich nachschüssiger Zahlung kamen wir auf:
=-RMZ(i;n;bw) = -RMZ(0,09;10;100000) = 15582,01
Nun gilt es, die zwölf Monatsbeträge zu finden, die einfach auf das Jahresende ver-
zinst diesen 15582,01
entsprechen. Dazu lösen wir die Gleichung
=z*(1+i*0/12)+z*(1+i*1/12)+z*(1+i*2/12)+....+z*(1+i*11/12)
= 15.582,01
nach z auf. Umgeformt nach der Bildungsregel der arithmetischen Reihe gilt:
z*12+z*(66/12)*i = z*(12+5,5*i) = 15.582,01
z = 15.582,01 / (12 + 5,5*i) = 1.247,06
Falls nicht nur monatliche Zahlungen vorkommen können, sondern z.B. auch Quartale,
kann man in allgemeiner Form schreiben:
Abbildung 7.28: Berechnung unterjähriger Zahlung bei jährlicher Zinsverrechnung
z ist die unterjährige Zahlung, p ist die Anzahl Zahlungen innerhalb einer Zinses-
zinsperiode. Werden die unterjährigen Zahlungen vorschüssig geleistet, also alle
einen Monat früher, müssen Sie in der Formel lediglich (p – 1) durch (p + 1) ersetzen.
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