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Weitere Zwischenrechnungen sind:
B10(u): =(-q/2+WURZEL(D.))^(1/3)
B11(v): =(-q/2-WURZEL(D.))^(1/3)
B12(r.) =ARCCOS(-(q/2)*WURZEL(-27/p^3))
Damit kommen wir „schon“ zu den Lösungen von x 1 , x 2 und x 3 :
B15(x1):
=WAHL(VORZEICHEN(D.)+2;-WURZEL(-4/3*p)*COS(1/3*r.-PI()/3)-b/(3*a);
(q/2)^(1/3)-b/(3*a); "---")
B16(x2):
=WAHL(VORZEICHEN(D.)+2;-WURZEL(-4/3*p)*COS(1/3*r.+PI()/3);(-4*q)^(1/3);
u+v)-b/(3*a)
B17(x3):
=WAHL(VORZEICHEN(D.)+2;WURZEL(-4/3*p)*COS(1/3*r.)-b/(3*a);(q/2)^(1/3)-b/(3*a);
"---")
Die Funktion WAHL sorgt hier dafür, dass abhängig vom Vorzeichen von D. drei unter-
schiedliche Berechnungen zum Ansatz kommen.
Das vorgegebene Beispiel liefert die Lösungen –1,5, –0,36, 0,52
aus der Gleichung:
–x^3+x^2-x+1=0
Mit den Parametern –1, 1, –1, 1 in B1:B4 resultiert ein positives D. Es existiert dann
nur eine reelle Lösung:
x 1 = +1.
Trägt man in B1:B4 die Parameter 1, 2, 1, 0 ein, erhält man den Sonderfall D=0. Die
drei Lösungen der Gleichung
x^3+2*x^2+x=0
lauten:
x 1 = -1
X 2 = 0
X 3 = -1
Hinter den trigonometrischen Berechnungen (COS/ARCCOS) zur Lösung kubischer
Gleichungen verbergen sich Rechenoperationen mit komplexen Zahlen. Diese genauer
herzuleiten, würde hier den Rahmen sprengen. (Eine detaillierte Beschreibung dazu
findet man z.B. bei Wikipedia unter dem Stichwort Cardanische Formeln , benannt
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