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Fast trivial einfach, aber für unsere finanzmathematischen Modelle sehr hilfreich. Es
leuchtet ein, dass ein Geldbetrag, der einmal mit 12 % verzinst wird, nicht den glei-
chen zukünftigen Endwert aufweist wie der gleiche Geldbetrag, der zwölfmal expo-
nentiell, also mit Zinseszinseffekt, fortgeschrieben wird. Zum Beweis:
100*1,12=112
100*1,01^12=112,682503013197
Ein Sparplan, der Ihnen einmal im Jahr 12 % Zinsen gewährt, ist also nicht äquivalent
zu einem einer Anlage, die monatliche Zinsverrechnung bei einem Jahreszins von 12 %
unterstellt. Im zweiten Fall verrechnen Sie jedes Mal ein Zwölftel des Jahreszinses und
bekommen dadurch am Ende des Jahres 68 Cent mehr zurück.
Gleicher Jahreszins führt zu unterschiedlichen Ergebnissen. Das ist für den Verbrau-
cher, der verschiedene Modelle miteinander vergleichen will, natürlich verwirrend.
Deshalb gibt es die Preisangabenverordnung PAngV, die es gebietet, immer den Effek-
tivzins einer Geldanlage oder eines Darlehens anzugeben. In beiden oben genannten
Varianten beträgt der nominelle Jahreszins 12 %. Bei der jährlichen Zinsverrechnung
entspricht dies ebenso dem Effektivzins. Der jährliche Effektivzins bei der unterjähri-
gen Zinsverrechnung ist höher als der jährliche Nominalzins.
Im Folgenden bezeichnen wir den Effektivzins als i eff und den Nominalzins als i nom .
Bezogen auf obiges Zahlenbeispiel interessieren uns zwei Fragestellungen:
Welcher jährlichen Effektivverzinsung entspricht der Endwert von 112,6825
?
Welcher monatliche Nominalzins hätte vergütet werden müssen, um nach zwölf
Monaten exakt 112
zu erreichen, was einer jährlichen Effektivverzinsung von
12 % entsprechen würde?
Die erste Fragestellung beantwortet die Formel:
i eff = (1+i nom /12)^12-1 = 12,6825 %
In allgemeiner Form für beliebige n statt 12:
i eff = (1+i nom /n)^n-1
Die zweite Fragestellung entspricht quasi der Auflösung des Polynoms n-ter Ord-
nung nach x über die n-te Wurzel. Jetzt schließt sich endlich der Kreis von der Null-
stellenberechnung zur Finanzmathematik:
i nom = ((1+i eff )^(1/n)-1)*n
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